Sistemas de ecuaciones logarítmicas | Teoría y ejemplos

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas están formados por un conjunto de ecuaciones, en la cuales, alguna de ellas es logarítmica.

Debemos tener en cuenta que los números que intervienen en los logaritmos deben ser positivos.

En este tipo de sistema de ecuaciones  se utilizan los mismos métodos que para los sistemas de ecuaciones lineales. Además, debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos, además de la siguiente relación:

log A= log B si solo si A=B

Es decir, si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales.

En algunos casos, puede ser conveniente realizar un cambio de variable. En el siguiente ejemplo lo comprobaremos.

Ejemplo 1 : sistemas de ecuaciones logarítmicas 

 

Así, llamaremos a “u= log x” y a “v=log y”. De esta manera, el sistema se nos quedaría de la siguiente manera:

Ahora, procedemos como un sistema de ecuaciones lineales. Donde, si lo  resolvemos por el método de sustitución:

u=3-v
(3-v)-v=1
-2v=-2
v=1
u=2

Luego, u=logx=2. Por tanto, x=100=10². Y si v=logy=1; y=10=10¹

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Ejemplo 2 : sistemas de ecuaciones logarítmicas 

En este caso, en primer lugar despejamos  “x” en la primera ecuación y procedemos a realizarlo por el método de sustitución.
x= 70-y
(Ahora, sustituimos en la segunda ecuación.)
log (70-y)+log y =3
(Aplicamos la propiedades de “logaritmo de un producto”)
log (70-y).y= 3
(log 1000=3, porque 103=1000)
(70-y).y=1000
-y²+70-1000=0

Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:

y1= 50 y2=20 ; x1= 20 x2 =50

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Puedes ver otro ejemplo resuelto en el siguiente videotutorial:

 

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Nos vemos en la siguiente clase.

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