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Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss

En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas de sistemas de ecuaciones debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles.

Para resolver un problema debemos:

En este caso los resolveremos por el método de Gauss:


Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edredón es de 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Planteamiento:

El número de almohadas: x
La cantidad mantas: y
Y la cantidad de libras edredones: z

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros

Mantas

50euros

Edredones

80e


Sistema de ecuaciones:

Primera ecuación:

“un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones”

x +y +z =200

Segunda ecuación:

“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16x+50y+80z=7500

Tercera ecuación: 

“el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones”

x = y+z
x-y-z=0

Resolución por el método de Gauss:

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior.

Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna:

Primer paso, transformar la segunda fila,

  1. Fila uno se mantiene
  2. Transformo la Fila 2: multiplico la primera por 16 y le resto la fila 2.

Segundo paso, transformar la tercera fila,

  1. Mantenemos la Fila uno.
  2. Transformo la Fila 3: le resto a la fila 1 la fila 3

Así, la matriz resultante sería:

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna:

Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

  1. Fila uno se mantiene.
  2. La Fila dos se mantiene.
  3. Transformo la Fila 3: multiplico la fila 3 por 17 y le sumo la fila 2.

17.(0 +2 +2 +200)= 0 +34 +34 +3400

Sumo la fila dos y tres transformadas.

De esta manera, el sistema resulta:

Siendo la solución:

z=-900/-30=30

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

-34y-64.30=-4300
-34y=-4300+1920
y=-2380/-34=70

 y=+70

 

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

x+70+30=+200

x=+200-70-30

x=100

 

Solución:

Número de almohadas: x=100

La cantidad de mantas: y=70

Y la cantidad de libras edredones: z=30

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros
Mantas

50euros

Edredones

80euros


“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16.(100)+50.(70)+80. (30) = 7500


 

 

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Encuentra estos otros dos problemas de sistemas de ecuaciones resueltos en el documento adjunto:

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas da de ser igual a 264000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros.

Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.


Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta de un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros.

 


 

 

 

 

Problemas resueltos por el método de Gauss.ystp

 

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