En la clase de hoy veremos cómo hallar la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos A(-1, 1), B (1, 9 ) ,C (-2, 0).
Si sabemos que los puntos A, B y C no están alineados, sabemos que existe por tanto una parábola solamente que pasa por dichos puntos.
¿Cómo hallamos la ecuación de la parábola?
Si conocemos la función general de la forma:
y= a.x2+bx+c
donde a, b y c (a¹0 ) son números, generalmente racionales.
Podemos hacer pasar cada uno de nuestros puntos por ella. De esta manera , obtendremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y c.
¿Cómo resolvemos este tipo de sistema de ecuaciones?
Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones vamos a utilizar, generalmente, el Método de Gauss. De esta manera podremos calcular las soluciones de manera directa y sencilla.
Procedemos así a resolver el ejemplo propuesto inicialmente:
y= a.x2+bx+c
A(-1, 1), B (1, 9 ) ,C (-2, 0)
En primer lugar, sustituimos el valor de nuestros puntos en la función general:
Empiezo por el punto A:
X= -1 e y = 1
1 = a.(-1)2+b(-1)+c
El punto B:
X= 1 e y = 9
9 = a.(1)2+b(1)+c
El punto C:
X= -2 e y = 0
0 = a.(-2)2+b(-2)+c
De este modo, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Ahora, procedemos a resolverlo por el Método de Gauss:
Realizo las siguientes transformaciones:
Fila 1: La Fila 1 la mantengo igual.
Fila 2: La Fila 2 le resto la fila 1
Fila 3: La Fila 3 le resto 4 veces la fila 1.
Fila 1: La Fila 1 la mantengo igual.
Fila 2: La Fila 2 la mantengo igual.
Fila 3: La Fila 3 le resto la fila 2.
Tengo las ecuaciones de manera escalonada y puede despejar:
c= -12/-3= 4
c = 4
b = 8 / 2 = 4
b=4
a -4 +4 = 1
a = 1
Por tanto, mi parábola correspondería con la función:
y= x2+4x+4
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Nos vemos en la siguiente clase.