Los sistemas de ecuaciones logarítmicas están formados por un conjunto de ecuaciones, en la cuales, alguna de ellas es logarítmica.
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Debemos tener en cuenta que los números que intervienen en los logaritmos deben ser positivos.
En este tipo de sistema de ecuaciones se utilizan los mismos métodos que para los sistemas de ecuaciones lineales. Además, debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos, además de la siguiente relación:
log A= log B si solo si A=B
Es decir, si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales.
En algunos casos, puede ser conveniente realizar un cambio de variable. En el siguiente ejemplo lo comprobaremos.
Ejemplo 1 : sistemas de ecuaciones logarítmicas
Así, llamaremos a “u= log x” y a “v=log y”. De esta manera, el sistema se nos quedaría de la siguiente manera:
Ahora, procedemos como un sistema de ecuaciones lineales. Donde, si lo resolvemos por el método de sustitución:
Puede despejar «u» en la primera ecuación:
u=3-v
Y sustituyo su valor en la segunda ecuación:
(3-v)-v=1
-2v=-2
v=1
u=2
Ahora vuelvo a sustituir en los valores iniciales:
Luego, u=logx=2. Por tanto, x=100=10². Y si v=logy=1; y=10=10¹
Ya tengo mi sistema de ecuación logarítmica resuelto. Al final, aplicando las propiedades, es como un sistema de ecuaciones muy sencillo.
Ejemplo 2 : sistemas de ecuaciones logarítmicas
En este caso, en primer lugar despejamos “x” en la primera ecuación y procedemos a realizarlo por el método de sustitución.
x= 70-y
(Ahora, sustituimos en la segunda ecuación.)
log (70-y)+log y =3
(Aplicamos la propiedades de “logaritmo de un producto”)
log (70-y).y= 3
(log 1000=3, porque 103=1000)
(70-y).y=1000
-y²+70-1000=0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
y1= 50 y2=20 ; x1= 20 x2 =50
Y ya tenemos el segundo ejemplo resuelto con nuestras soluciones.
Si la comprobamos sustituyendo los valores en nuestro sistema vemos que está correcto.
Si tienes cualquier duda sobre algún ejercicio o problema puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.
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Nos vemos en la siguiente clase.