En la clase de hoy vamos a aprender a resolver las ecuaciones matriciales con teoría y ejercicios. .
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Una ecuación matricial es aquella en la que la incógnita es una matriz.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones con matrices ?
Para resolver ecuaciones matriciales debemos tener siempre presente lo siguiente:
- El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir:
A.B no siempre es igual a B.A
- Si multiplicas la matriz A por su inversa es igual a la matriz identidad,I.
- El producto de la matriz A por la matriz identidad I es igual a la matriz A.
A.I=A=I.A
Para realizar las ecuaciones matriciales debemos primero despejar las incógnitas y, por último, una vez despejada, realizamos las operaciones con las matrices resultantes.
Lo veremos más claro con los siguientes ejemplos:
1.Teniendo la matriz B y la matriz C, calcular la matriz X si:
X-C=B
Por tanto, sólo debemos despejar X:
(si están sumando o restando podemos pasarla al otro miembro cambiando de signo)
X= B+C
2.Teniendo la matriz A, B y la matriz C, despejar la matriz X si:
B.X+C=A
B.X=A-C
Ahora debemos multiplicar por la inversa de B en ambos miembros de la igualdad:
(como lo hemos hecho por la izquierda, mantenemos la multiplicación por la izquierda en el otro miembro, recordamos así que no es conmutativa)
3.Teniendo la matriz A, B, C y la matriz D, despejar la matriz X si:
B.X.A + C= D
B.X.A = D- C
Ahora debemos multiplicar por la inversa de B y por la inversa de A en ambos miembros de la igualdad:
(debemos recordar el lado por el que realizamos el producto al no ser conmutativa)
Veamos el siguiente ejemplo resuelto:
Siendo las matrices:
Tenemos que resolver la siguiente ecuación:
A.X = B-I
Vamos, en primer lugar, a despejar la X. Para ello, multiplicamos por la izquierda de A, a su inversa y del mismo modo, lo hacemos con el segundo miembro de la igualdad.
Cumpliendo la relación: A-1. A = I
A-1.A.X = A-1. (B-I)
I.X = A-1. (B-I)
Como I.X = X
X = A-1. (B-I)
Y ya procedemos a resolver esta operación.
Sabiendo que la inversa de A es:
Te puede interesar: ¿Sabes calcular la inversa de una matriz?
Pasamos a forma matricial y:
X = A-1. (B-I)
Ya tenemos nuestra ecuación resuelta.
Si tienes cualquier duda sobre algún ejercicio o problema puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.
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Nos vemos en la siguiente clase.