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¿Qué son las ecuaciones logarítmicas y cómo se resuelven?

En la clase de hoy vamos a trabajar las ecuaciones logarítmicas con teoría y varios ejemplos resueltos.

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¿Qué es una ecuación logarítmica?

Son aquellas en las que aparece la incógnita sometida a la operación logaritmo.

En este tipo de ecuaciones debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos (Pincha el siguiente enlace) , además de la siguiente relación:

log A= log B si solo si A=B

¡Importante!

Si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales

Por ejemplo:

log x = log 2 si solo si x=2

Debemos tener en cuenta que al resolver este tipo de ecuaciones nos pueden aparecer soluciones no válidas.

Por ejemplo, en el caso:

2log x=log(10-3x)

Aplicamos en el primer miembro la propiedad del logaritmo de una potencia.

log x²= log(10-3x)

Aplicamos la relación: “log a= b si solo si a= b”

x²=10-3x

Resolvemos esta ecuación de segundo grado y nos da como resultado: x=-5 y x=2. En este caso comprobamos como la raíz x=-5 no es válida, puesto que el log (-5) no existe.

¡Muy importante!

Debemos comprobar siempre las raíces de una ecuación antes de darlas por válidas.

A continuación, vamos a resolver varios ejemplos:

log x = 1 + log (22-x)

log x-log (22-x) = 1

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de un cociente”. Debemos saber que el log 10=1 porque 10¹=10. Por tanto:

log x/ (22-x) =log 10

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

x/(22-x) = 10
x= 10.(22-x)
x= 220-10x
11x=220
x=220/11=20
x=20

Comprobamos que la solución es válida porque:

log 20= 1+log2


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ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas resueltas:

Ahora, resuelve tú los siguientes ejercicios propuestos. Recuerda que puedes comprobar los resultados que están resueltos a continuación, pero es mejor que trates de hacerlo tú primero.

log(x+2) +log (x+3) = log (7x+6)

2log (4-x) = log ( 3x+8) + log (x+2).


Empecemos por la primera:

log(x+2) +log (x+3) = log (7x+6)

Aplicamos las propiedades de “logaritmo de un producto”.

log (x+2). (x+3) = log (7x+6)

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

(x+2). (x+3) = (7x+6)

x2+5x+6­-7x­-6=0

x2­-2x=0

Sacamos factor común “x”

x.(x-2) =0

x=0 y x=2

Ambas son soluciones válidas.

El segundo ejemplo sería:

2log (4­-x) = log(3x+8) +log(x+2)

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de una potencia” y de “logaritmo de un producto”.

log (4-­x)2 = log (3x+8). (x+2)

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

(4-­x)2=(3x+8). (x+2)

16+x2­-8x=3x2+6x+8x+16

­-2x2­-22x=0

Sacamos factor común “-­2x”

­-2x.(x+11) =0

x=0 x=-11

Sólo x=0 es solución de la ecuación

ecuaciones logarítmicas

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Nos vemos en la siguiente clase.

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