En la clase de hoy vamos a trabajar las ecuaciones logarítmicas con teoría y varios ejemplos resueltos.

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¿Qué es una ecuación logarítmica?

Son aquellas en las que aparece la incógnita sometida a la operación logaritmo.

En este tipo de ecuaciones debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos (Pincha el siguiente enlace) , además de la siguiente relación:

log A= log B si solo si A=B

¡Importante!

Si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales

Por ejemplo:

log x = log 2 si solo si x=2

Debemos tener en cuenta que al resolver este tipo de ecuaciones nos pueden aparecer soluciones no válidas.

Por ejemplo, en el caso:

2log x=log(10-3x)

Aplicamos en el primer miembro la propiedad del logaritmo de una potencia.

log x²= log(10-3x)

Aplicamos la relación: “log a= b si solo si a= b”

x²=10-3x

Resolvemos esta ecuación de segundo grado y nos da como resultado: x=-5 y x=2. En este caso comprobamos como la raíz x=-5 no es válida, puesto que el log (-5) no existe.

¡Muy importante!

Debemos comprobar siempre las raíces de una ecuación antes de darlas por válidas.

A continuación, vamos a resolver varios ejemplos:

log x = 1 + log (22-x)

log x-log (22-x) = 1

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de un cociente”. Debemos saber que el log 10=1 porque 10¹=10. Por tanto:

log x/ (22-x) =log 10

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

x/(22-x) = 10
x= 10.(22-x)
x= 220-10x
11x=220
x=220/11=20
x=20

Comprobamos que la solución es válida porque:

log 20= 1+log2

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Ecuaciones logarítmicas resueltas:

Ahora, resuelve tú los siguientes ejercicios propuestos. Recuerda que puedes comprobar los resultados que están resueltos a continuación, pero es mejor que trates de hacerlo tú primero.

log(x+2) +log (x+3) = log (7x+6)

2log (4-x) = log ( 3x+8) + log (x+2).

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Empecemos por la primera:

log(x+2) +log (x+3) = log (7x+6)

Aplicamos las propiedades de “logaritmo de un producto”.

log (x+2). (x+3) = log (7x+6)

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

(x+2). (x+3) = (7x+6)

x²+5x+6­-7x­-6=0

x²­-2x=0

Sacamos factor común “x”

x.(x-2) =0

x=0 y x=2

Ambas son soluciones válidas.

El segundo ejemplo sería:

2log (4­-x) = log(3x+8) +log(x+2)

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de una potencia” y de “logaritmo de un producto”.

log (4-­x)² = log (3x+8). (x+2)

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

(4-­x)²=(3x+8). (x+2)

16+x²­-8x=3x²+6x+8x+16

­-2x²­-22x=0

Sacamos factor común “-­2x”

­-2x.(x+11) =0

x=0 x=-11

Sólo x=0 es solución de la ecuación

Si tienes cualquier duda sobre ecuaciones logarítmicas, puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.

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Nos vemos en la siguiente clase.