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¿Sistemas de ecuaciones logarítmicas? Aprende a resolverlos

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas están formados por un conjunto de ecuaciones, en la cuales, alguna de ellas es logarítmica.

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Debemos tener en cuenta que los números que intervienen en los logaritmos deben ser positivos.

En este tipo de sistema de ecuaciones  se utilizan los mismos métodos que para los sistemas de ecuaciones lineales. Además, debemos tener en cuenta las propiedades de los logaritmos, además de la siguiente relación:

log A= log B si solo si A=B

Es decir, si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales.

En algunos casos, puede ser conveniente realizar un cambio de variable. En el siguiente ejemplo lo comprobaremos.

Ejemplo 1 : sistemas de ecuaciones logarítmicas 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Así, llamaremos a “u= log x” y a “v=log y”. De esta manera, el sistema se nos quedaría de la siguiente manera:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Ahora, procedemos como un sistema de ecuaciones lineales. Donde, si lo  resolvemos por el método de sustitución:

Puede despejar «u» en la primera ecuación:

u=3-v

Y sustituyo su valor en la segunda ecuación:


(3-v)-v=1
-2v=-2
v=1
u=2

Ahora vuelvo a sustituir en los valores iniciales:

Luego, u=logx=2. Por tanto, x=100=10². Y si v=logy=1; y=10=10¹

Ya tengo mi sistema de ecuación logarítmica resuelto. Al final, aplicando las propiedades, es como un sistema de ecuaciones muy sencillo.


Ejemplo 2 : sistemas de ecuaciones logarítmicas 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

En este caso, en primer lugar despejamos  “x” en la primera ecuación y procedemos a realizarlo por el método de sustitución.


x= 70-y
(Ahora, sustituimos en la segunda ecuación.)
log (70-y)+log y =3
(Aplicamos la propiedades de “logaritmo de un producto”)
log (70-y).y= 3
(log 1000=3, porque 103=1000)
(70-y).y=1000
-y²+70-1000=0

Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:

y1= 50 y2=20 ; x1= 20 x2 =50

Y ya tenemos el segundo ejemplo resuelto con nuestras soluciones.

Si la comprobamos sustituyendo los valores en nuestro sistema vemos que está correcto.


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Nos vemos en la siguiente clase.

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