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Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss

En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas de sistemas de ecuaciones debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles.

Para resolver un problema debemos:

  • Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar.
  • Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.
  • Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.
  • Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.
  • En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones.
  • El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones.
  • Por .último y muy importante, debemos interpretar la solución.

En este caso los resolveremos por el método de Gauss:
gauss


Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edredón es de 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Planteamiento:

El número de almohadas: x
La cantidad mantas: y
Y la cantidad de libras edredones: z

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros

Mantas

50euros

Edredones

80e


Sistema de ecuaciones:

Primera ecuación:

“un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones”

x +y +z =200

Segunda ecuación:

“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16x+50y+80z=7500

Tercera ecuación: 

“el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones”

x = y+z
x-y-z=0

problemas de sistemas de ecuaciones

Resolución por el método de Gauss:

problemas de sistemas de ecuaciones

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.36.26

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior.

Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna:

Primer paso, transformar la segunda fila,

  1. Fila uno se mantiene
  2. Transformo la Fila 2: multiplico la primera por 16 y le resto la fila 2.

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.36.47

Segundo paso, transformar la tercera fila,

  1. Mantenemos la Fila uno.
  2. Transformo la Fila 3: le resto a la fila 1 la fila 3

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.38.20

Así, la matriz resultante sería:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.38.46

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna:

Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

  1. Fila uno se mantiene.
  2. La Fila dos se mantiene.
  3. Transformo la Fila 3: multiplico la fila 3 por 17 y le sumo la fila 2.

17.(0 +2 +2 +200)= 0 +34 +34 +3400

Sumo la fila dos y tres transformadas.

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.39.51

De esta manera, el sistema resulta:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.40.21

Siendo la solución:

z=-900/-30=30

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

-34y-64.30=-4300
-34y=-4300+1920
y=-2380/-34=70

 y=+70

 

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

x+70+30=+200

x=+200-70-30

x=100

 

Solución:

Número de almohadas: x=100

La cantidad de mantas: y=70

Y la cantidad de libras edredones: z=30

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros
Mantas

50euros

Edredones

80euros


“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16.(100)+50.(70)+80. (30) = 7500


 

 

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Encuentra estos otros dos problemas de sistemas de ecuaciones resueltos en el documento adjunto:

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas da de ser igual a 264000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros.

Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.


Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta de un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros.

 


 

 

 

 

Problemas resueltos por el método de Gauss.ystp

 

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16 comments on “Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss

  1. sofia gaitan

    Buenas noches quisiera saber si me pueden ayudar con este ejercicio
    un tanque de almacenamiento de agua puede ser llenado por tres tbos a, b y c el tubo a por si solo puede llenar el tanque en una hora. si los tubos a y c se usan juntos el tanque puede ser llenado en 2/3 del tiempo empleado si se ultiliza solo el tubo a; si el b y el cse usan juntos tardan 20 minutos ¿ cuanto tiempo tarda en llenarse el tanque de almacenamiento si se usan los tres tubos?

    • Hola! Aquí tenemos que tener en cuenta los caudales. Si el caudal es el volumen entre el tiempo y el volumen total lo determinamos como 1. El grifo a tiene un caudal de 1/60 minutos. El grifo a +c = 1/ 40 (porque 2/3 de 60 minutos son 40) Si despejo aquí c me sale que su caudal es 1/ 120 y el caudal de b lo despejo de la última ecuación b+c = 1/ 20 . De este modo, sé que el caudal total es la suma de los tres caudales a+b+c = 1 / tiempo Si sumo y despejo obtengo el resultado 🙂 Un saludo

  2. Me podrá apoyar con este ejercicio :La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

    • La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

      Tiempo requerido Tiempo requerido Tiempo requerido
      Mesa 1 Mesa 1 Mesa 1
      Producto 1 10 12 8
      Producto 2 15 17 9
      Producto 3 7 7 8
      Tiempo total
      disponible por
      mesa 3,300 3,500 2,900

      Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.
      El modelo de optimización que permite encontrar la combinación óptima de productos que maximicen la utilidad de la compañía es el siguiente:
      Max B = 150X + 210Y + 130Z

  3. CARLA KERN

    ayuda con este problema…
    UN PROMOTOR VENDE DOS CLASES DE SEGUROS. DE 1 Y 2 CATEGORIA. EN UN DIA VWNDIO 12 POLIZAS EN TOTAL Y COBRO DE TODOS ELLOS $40000 EN CONCEPTO DE PRIMERA CUOTA.
    SI LA CUOTA DE CADA SEGURO DE 1 CATEGORIA ASCIENDE A $4000 Y A $3000 LA DE SEGUNDA CATEGORIA, AVERIFUAR CUANTOS SEGUROS DE CADA CLASE VENDIO EL PROMOTOR.

    • yosoytuprofe

      Hola! Si llamamos X al número de seguros de la categoría 1 e Y al número de la categoría 2. La primera ecuación sería x+y = 12 y la segunda ecuación sería 4000 x + 3000 y = 40000 Un saludo 🙂

  4. Buenas Noches; Se tiene una red de distribución de agua como se ilustra en la figura. Suponga que la cantidad que entra es la misma que sale para cada nodo (cada cruce ) y asigne valores a los f de tal manera que se cumpla la igualdad 𝑓1+ 𝑓2= 𝑓3+ 𝑓4. Determine la cantidad de agua que fluye por cada tubo.

  5. Buenas Noches; Una compañía dispone de un presupuesto de $280 000 dólares para equipo de cómputo. Se han de adquirir tres tipos de productos: computadoras personales a $500 dólares cada una; impresoras a $2 000 dólares cada una y computadoras portátiles a $5 000 dólares cada una. Se deben comprar cinco computadoras personales por cada impresora y por cada computadora portátil dos computadoras personales. Determine si es posible gastar el presupuesto de forma exacta.

  6. DANIELA CARPIO SILVA

    Buenas Tardes.
    Si al doble de la edad de Ana se suma la edad de Bárbara, se obtiene la edad de Carlos aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de Bárbara se suma al doble de la edad de Carlos se obtiene la edad de Ana aumentada en 9 años y el tercio de la suma de las edades de Ana y Bárbara es un año menos que la edad de Carlos. Hallar las edades de Ana, Bárbara y Carlos. Modele el problema anterior con sistemas de ecuaciones y resuelva por Gauss.

    • yosoytuprofe

      Hola! Si llamamos “x” a los años que tiene Ana, “y” a los años que tiene Bárbara y “z” a los años que tiene Carlos. La primera ecuación será 2x+y = z+32 , la segunda 1/3 y +2z = y+9 ; y la tercera 1/3. (x+y )= z-1 . Ahora solo queda resolverlo.

  7. Rikchards Castaño

    Me ayudan a plantese estés dos problemas gracias..

    1.Un padre reparte $ 10000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2000 más que el menor. ! Cuanto dinero le corresponde a cada uno??

    2. Una persona tiene $8000 en 200 monedas de 10 y de 50 ¿ cuantas monedas de 10 y 50 tiene?

    Ayuda gracias

    • yosoytuprofe

      Hola! Estos problemas se pueden resolver mediante sistema de ecuaciones y con ecuaciones de primer grado. En el primer problema, si el padre le da al menor “x” euros al mayor la da x+2000=6000. De este modo, la ecuación sería x+x+2000=10.000 ; x= 4000 . Le da al menor 4000 y al mayor 6000.

      Para el segundo problema, si tiene “x” monedas de 10, tiene entonces “200-x “monedas de 50. Por tanto, 20.x + 50.(200-x) = 8000 Si resolvemos nos salen 50 monedas de 10 y 150 de 50. Un saludo

  8. Ana Maria Collado

    Hola, queria saber si me pueden ayuda a resolver los siguientes problemas de sistemas de ecuaciones… estoy perdida con este tema:

    1-Para cubrir el suelo de un patio se gastan $14850 en baldosas y $2080 en zócalo. Si
    las baldosas cuestan $ 90 por m2
    , y los zócalos, $40 por m, calcular las dimensiones del
    patio.

    2-Un almacenero vendió toda su provisión de botellas de oprto y de sidra de la siguiente
    manera: la mitad de las de oporto a $60 cada una y el resto a $63; las dos terceras partes
    de las botellas de sidra a $32,5 y el resto a $35. Si por toda la venta recaudó $3845, y el
    número de botellas de sidra era el doble que las de oporto, ¿cuántas botellas de cada
    clase vendió?

    Muchas gracias!!

  9. Ana Guerrero

    pueden ayudarme con este problema, como sacar las ecuaciones para poderlo resolver mediante matrices:
    Se propone un negocio con dos tipos de socios, mayoritarios y minoritarios. Y para tener un portafolio de inversión con dos instrumentos se requieren dos montos de $174,000 y $296,000, cada uno; sabiendo que para el monto menor los socios mayoritarios invierten $3,000 y los minoritarios $1200 y que para el monto mayor invierten $5,000 y $2,300, mayoritarios y minoritarios respectivamente, ¿Cuál es la cantidad de socios de cada tipo que se requieren para poder realizar las dos inversiones simultáneamente?

  10. Isabella Ortega Maurette

    HOLA, podría hacer el mismo ejercicio resuelto por cramer? Gracias!

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