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¿Qué son los números amigos? ¿Existen los números perfectos?

Aunque no podemos afirmar que los números tengan sentimientos, sí que existen cierta afinidad entre ellos. Te queremos hablar hoy de los números amigos: ¿sabían qué son?

¿Qué son los números amigos?

Los números amigos son dos números enteros positivos «a» y «b» tales que la suma de los divisores (aquellos valores que dividen el número en partes exactas) propios de uno es igual al otro número y viceversa.

El ejemplo más conocido es el de 220 y 284.

Los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Si hacemos la suma 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284. ¡Se cumple!

Al igual, los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71, 142.

Al sumarlos 1+2+4+71+142 = 220. ¡Genial!

Así vemos como 220 y 284 son números amigos.

Existen muchos más, por ejemplo el 1.184 es amigo del 1.210. Del mismo modo, el 2.620 es amigo del 2.924.

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números amigos

¡Números perfectos!

Un número es perfecto cuando la suma de los divisores propios es igual a sí mismo. Es decir, si es amigo de sí mismo es un número perfecto.

Ejemplos:

El 6 tiene como divisores el 1, 2 y 3. La suma de ellos nos da 6 por eso es perfecto.

El 28 es perfecto porque los divisores son 1, 2, 4, 7 y 14.

Comprobamos como 28 = 1+2+4+7+14

Al igual que el 496, tiene como divisores el 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Si los sumamos nos da 496.

Son muy difíciles de encontrar. Por ahora solo se conocen 48. Y, lo más curioso, ¡todos son pares!

¿Existe algún número perfecto impar? Todavía no se ha descubierto. Anímate a ello.

Un poco de historia…

Ya los pitagóricos tenían en cuenta estos números a los cuales se les atribuían propiedades místicas.

También en la cultura árabe estos números causaban interés. Fue Tabit ibn Querra (826-901) quién descubrió la fórmula general para calcular números amigos:

p = 3 × 2n-1 – 1,

q = 3 × 2n – 1,

r = 9 × 22n-1 – 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2npq y 2nr son un par de números amigos.

Con dicha fórmula podemos generar los números amigos: (220, 284), (1184, 1210), (17 296, 18 416) y (9 363 584, 9 437 056).

Si tienes cualquier duda sobre qué es un número amigo puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.

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Nos vemos en la siguiente clase.

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